Ein informationsbasierter Rahmen für physikalische Messbarkeit und Rekonstruierbarkeit

Version 0.9 · Preprint / Framework Paper · FORSCH-PROV0420 (Nummer provisorisch) · Stand 06.10.2026

Diese Fassung beansprucht keine neue Grundphysik. Sie ist ein Ordnungsrahmen für Messbarkeit, Rekonstruierbarkeit und Falsifizierbarkeit physikalischer Messketten.

0 Was sich gegenüber Version 0.8 geändert hat

Am Werk selbst nichts. Kein Ergebnis, kein Beweis, keine Zahl, kein Anhang hat sich geändert. Diese Fassung macht das Bündel um das Werk herum veröffentlichungsfähig; die Nummer wird mitgezogen, damit Werk und Bündel nicht auseinanderlaufen.

Damit ist das Material fertig. Offen sind nur noch die sieben Entscheidungen in VEROEFFENTLICHUNG.md Abschnitt 1; sie liegen sämtlich beim Autor und lassen sich aus dem Material nicht ableiten.

0.1 Was sich gegenüber Version 0.7 geändert hatte

Diese Fassung ändert kein Ergebnis und keinen Beweis. Sie zieht die Offenlegungsgrenze ausdrücklich, statt sie vorauszusetzen.

Sachlich unverändert: Messkette, Sätze 1 und 2, Klassifikation A/B/C, Numerik, Versuchsprotokoll, Literatur, Quellen-Prüfliste, Lizenzstufen, Aktiv-Passiv-Zuordnung.

0.2 Was sich gegenüber Version 0.6 geändert hatte

Diese Fassung ändert kein Ergebnis und keinen Beweis. Sie verankert eine strangübergreifende Regel, die bisher nur als Entscheidung bestand.

Sachlich unverändert: Messkette, Sätze 1 und 2, Klassifikation A/B/C, Numerik, Versuchsprotokoll, Literatur, Quellen-Prüfliste, Lizenzstufen.

0.3 Was sich gegenüber Version 0.5 geändert hatte

Diese Fassung ändert kein Ergebnis und keinen Beweis. Sie stellt die Verwertung auf Plattformfokus um.

Sachlich unverändert: Messkette, Sätze 1 und 2, Klassifikation A/B/C, Numerik, Versuchsprotokoll, Literatur, Quellen-Prüfliste.

0.4 Was sich gegenüber Version 0.4 geändert hatte

Diese Fassung ändert kein Ergebnis und keinen Beweis. Sie arbeitet die Quellenprüfung ein, die in Version 0.4 als einziger offener Arbeitsgang ausgewiesen war.

Was weiterhin aussteht: die Auflagenwahl bei vierzehn Lehrbüchern und drei Erstausgaben, der Ausgabestand von JCGM 100/200 und EMVA 1288 sowie das Abrufdatum des SEP-Eintrags. Diese Punkte sind in Anhang I.2 einzeln aufgeführt und vor einer Journalfassung zu schließen.

0.5 Was sich gegenüber Version 0.3 geändert hatte

0.6 Was sich gegenüber Version 0.2 geändert hatte

Abstract

Diese Arbeit formuliert einen informationsbasierten Ordnungsrahmen für physikalische Messbarkeit und Rekonstruierbarkeit. Der Anspruch ist nicht, neue Grundphysik einzuführen, sondern etablierte Konzepte aus Wellentheorie, Elektrodynamik, Streutheorie, Signaltheorie, Digitalisierung und Quantenmessung entlang einer gemeinsamen Messkette zu ordnen:

$$X_0 \rightarrow H_\text{field} \rightarrow H_\text{mat} \rightarrow H_\text{mix} \rightarrow H_\text{measure} \rightarrow Q \rightarrow Y.$$

Der Ausgangspunkt ist die Beobachtungsäquivalenz: Gilt $p(Y\lvert\theta_1)=p(Y\lvert\theta_2)$ für $\theta_1\neq\theta_2$, ist eindeutige Rekonstruktion aus diesem Messkanal ausgeschlossen. Diese Aussage ist nicht neu; sie ist die Definition der Identifizierbarkeit eines parametrischen Modells, und ihre lokale Fassung ist seit Rothenberg (1971) äquivalent zur Regularität der Fisher-Informationsmatrix. Der Beitrag dieser Arbeit liegt in zwei Punkten.

Erstens wird die diagnostische Arbeitsgröße $K$ als effektives Signal-Rausch-Verhältnis definiert und für den skalaren Gauß-Kanal exakt aus der Fisher-Information hergeleitet: mit $K := \theta^2 F(\theta)$ gilt $K = SNR\cdot C^2$. Zweitens erhält die Produktform

$$K = SNR\cdot G(\lvert q\rvert a)\cdot D_\text{mat}\cdot\gamma\cdot R_\text{dir}\cdot C^2$$

ein prüfbares Gültigkeitskriterium: Sie ist auf einem zusammenhängenden Produktgebiet genau dann exakt, wenn $\log F$ additiv separierbar ist. Schärfer formuliert über Stufeneffizienzen $\eta_k = F_k/F_{k-1}$ lautet die Behauptung, dass jede $\eta_k$ nur von den Parametern ihrer eigenen Stufe abhängt. Für drei Klassen von Vorwärtsmodellen wird das entschieden: multiplikative Transmission mit einstufigem Rauschen und Poisson-Verdünnung erfüllen das Kriterium exakt; EMCCD bei hoher Verstärkung und Ein-Bit-Quantisierung bei kleinem Signal-Rausch-Verhältnis asymptotisch; mehrstufige Rauscheinkopplung, der Übergang zwischen Schrot- und Leserauschen, Nichtlinearität und Sättigung verletzen es.

Zehn numerische Minimalmodelle mit festem Zufallssaat belegen die Aussagen, darunter eine Separierbarkeitskarte über Signalniveau und Leserauschen und ein vollständig durchgerechneter optischer Spaltversuch. Die wissenschaftliche Belastbarkeit liegt in Falsifikationsbedingungen.

Schlüsselwörter: Messbarkeit; Rekonstruierbarkeit; Identifizierbarkeit; Beobachtungsäquivalenz; Fisher-Information; Separierbarkeit; kaskadierte Systeme; Wellenvektorübertrag; Kohärenz; inverse Probleme; Quantenmessung.

1 Einleitung

Physikalische Messungen werden häufig über einzelne Begriffe beschrieben: Signalstärke, Frequenz, Wellenlänge, Reflexion, Auflösung, Rauschen, Detektion. Diese Begriffe sind notwendig, aber allein nicht ausreichend. Ein starkes Signal kann wenig über den gesuchten Zustand verraten. Ein lokales Nullsignal kann durch destruktive Interferenz entstehen. Ein digital scharfes Ergebnis kann auf grober Quantisierung oder algorithmischen Priors beruhen. Ein reflektiertes Signal kann Energie enthalten, aber Richtungs- und Phaseninformation verloren haben.

Die zentrale Frage lautet daher nicht, ob ein Signal existiert, sondern:

Welche Zustandsinformation ist im Signal unter den gegebenen physikalischen und messtechnischen Bedingungen unterscheidbar?

Der Beitrag ist kein neues Naturgesetz. Er ist ein Rahmenmodell, das bestehende physikalische Beschreibungen entlang der Frage nach Messbarkeit ordnet, und — seit Version 0.2 — die Angabe der Bedingungen, unter denen die dabei benutzte Arbeitsgröße zulässig ist. Version 0.3 beantwortet diese Frage für die wichtigsten Kanalklassen.

2 Geltungsanspruch

Das Modell beansprucht keine neue Grundphysik. Es ersetzt keine Maxwell-Gleichungen, keine Quantenmechanik, keine Streutheorie, keine Fourieroptik, keine Informationstheorie und keine Theorie inverser Probleme. Es ist ein Ordnungsrahmen.

Sein Zweck ist, die Messfrage explizit zu machen:

1. Welcher Zustand soll unterschieden werden?
2. Welche physikalische Vorwärtskette erzeugt das Signal?
3. Welche Faktoren erhalten oder zerstören Zustandsinformation?
4. Welche Zustände bleiben im Messkanal unterscheidbar?
5. Welche Zustände fallen in dieselbe Messverteilung?

Das Modell ist methodisch, nicht fundamentalistisch.

3 Messkette

$$X_0 \rightarrow H_\text{field} \rightarrow H_\text{mat} \rightarrow H_\text{mix} \rightarrow H_\text{measure} \rightarrow Q \rightarrow Y. \tag{1}$$

Im linearen Fall gilt $Y = H_\text{total}X_0 + N$ mit $H_\text{total}=H_m\cdots H_1$ (2). Besitzt $H_\text{total}$ einen Nullraum, erzeugen verschiedene Zustände dasselbe Signal. Im nichtlinearen Fall gilt $Y = F_m(\dots F_1(X_0)) + N$ (3), und die lokale Sensitivität entscheidet.

4 Zustandsunterscheidbarkeit

Ein Signal enthält Zustandsinformation über $\theta$, wenn

$$p(Y\lvert\theta_1)\neq p(Y\lvert\theta_2) \quad \text{für} \quad \theta_1\neq\theta_2, \tag{4}$$

und eindeutige Rekonstruktion ist ausgeschlossen, wenn

$$p(Y\lvert\theta_1)=p(Y\lvert\theta_2), \quad \theta_1\neq\theta_2. \tag{5}$$

Herkunft der Aussage. Gleichung (5) ist die Definition der Beobachtungsäquivalenz zweier Parameterwerte; ein Modell heißt identifizierbar, wenn keine zwei verschiedenen Parameterwerte beobachtungsäquivalent sind. Rothenberg (1971) zeigt, dass unter schwachen Regularitätsbedingungen lokale Identifizierbarkeit äquivalent zur Nichtsingularität der Fisher-Informationsmatrix ist. Diese Arbeit übernimmt den Satz und wendet ihn auf physikalische Vorwärtsketten an. Der Beitrag liegt in der Übertragung und in der Stufenzerlegung, nicht in der Aussage selbst.

Drei Ebenen sind zu trennen:

Im quantenmechanischen Fall tritt an die Stelle der Fisher-Information die Quanten-Fisher-Information; Braunstein und Caves (1994) zeigen, dass die statistische Unterscheidbarkeit benachbarter Zustände eine Riemannsche Metrik auf dem Raum der Dichteoperatoren definiert.

5 Die Arbeitsgröße $K$

5.1 Definition als effektives SNR

$K$ ist definiert als das effektive Signal-Rausch-Verhältnis desjenigen äquivalenten Gauß-Kanals, der dieselbe Fisher-Information über $\theta$ liefert wie die betrachtete Messkette.

Damit ist

$$I_\text{eff} = \log_2(1+K) \tag{6}$$

im Ankerfall keine Näherung, sondern exakt die Shannon-Kapazität des äquivalenten Kanals.

5.2 Ankerfall: Herleitung aus der Fisher-Information

Für $Y=s(\theta)+N$, $N\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$, gilt $F(\theta) = (\partial_\theta s)^2/\sigma^2$ (7). Mit der dimensionslosen Definition $K := \theta^2 F(\theta)$ und

$$SNR := \frac{s^2}{\sigma^2}, \qquad C := \frac{\theta}{s}\frac{\partial s}{\partial \theta}$$

folgt exakt

$$K = SNR\cdot C^2. \tag{8}$$

$K$ ist damit die Fisher-Information bezüglich $\ln\theta$, und $C$ ist die logarithmische Sensitivität (Elastizität) der Vorwärtskette. Wirken die weiteren Stufen als amplitudenskalierende Faktoren $g_i\in[0,1]$ ohne Änderung der Rauschleistung, gilt $SNR_\text{eff}=SNR\prod_i g_i^2$ und

$$K = SNR\cdot G(\lvert q\rvert a)\cdot D_\text{mat}\cdot \gamma\cdot R_\text{dir}\cdot C^2. \tag{9}$$

5.3 Satz 1 (Separierbarkeit)

Sei $F(\theta; p_1,\dots,p_n)$ auf einem zusammenhängenden Produktgebiet $P_1\times\dots\times P_n$ positiv und zweimal stetig differenzierbar. Dann sind äquivalent:

1. $F = \prod_{i=1}^{n} f_i(p_i)$ für geeignete Funktionen $f_i>0$;
2. $\dfrac{\partial^2 \log F}{\partial p_i\,\partial p_j}=0$ für alle $i\neq j$. (10)

Beweis (Skizze). (1) $\Rightarrow$ (2): $\log F = \sum_i \log f_i(p_i)$, jeder Summand hängt von genau einer Variablen ab, also verschwinden alle gemischten zweiten Ableitungen. (2) $\Rightarrow$ (1): Verschwinden alle gemischten zweiten Ableitungen einer $C^2$-Funktion auf einem zusammenhängenden Produktgebiet, so ist $\partial\log F/\partial p_i$ eine Funktion allein von $p_i$; Integration liefert $\log F = \sum_i h_i(p_i) + \text{const}$. $\square$

Das Kriterium ist damit nicht hinreichend oder notwendig, sondern äquivalent zur Produktform. Es ist invariant unter koordinatenweisen Reparametrisierungen $p_i\mapsto\varphi_i(p_i)$, nicht aber unter mischenden Transformationen. Ob zu einem gegebenen Modell eine mischende Reparametrisierung existiert, die $\log F$ separabel macht, ist ein Randwertproblem derselben Art wie die Orthogonalisierung bei Cox und Reid (1987); es bleibt offen.

5.4 Satz 2 (Stufenfassung)

Für eine Kette $\theta \to X_0 \to X_1 \to \dots \to X_n$ mit Fisher-Informationen $F_k$ über $\theta$ gilt stets die Teleskopdarstellung

$$F_n = F_0 \prod_{k=1}^{n} \eta_k, \qquad \eta_k := \frac{F_k}{F_{k-1}} \in [0,1]. \tag{11}$$

Die Beschränkung $\eta_k\le 1$ folgt aus der Datenverarbeitungsungleichung für Fisher-Information (Zamir 1998). Die Produktdarstellung (11) ist deshalb trivial und für sich genommen ohne Aussagekraft. Die inhaltliche Behauptung des Rahmens lautet:

Die Stufeneffizienz $\eta_k$ hängt nur von den Parametern $p_k$ der eigenen Stufe ab — nicht von vorgelagerten Parametern $p_{<k}$ und nicht vom Signalniveau.

Erst in dieser Fassung ist die Produktform eine prüfbare physikalische Aussage über die Kanalstruktur. Sie ist äquivalent zu Satz 1, angewandt auf die Parametergruppen der einzelnen Stufen.

5.5 Abgrenzung zu benachbarten Begriffen

5.6 Klassifikation der Vorwärtsmodelle

Die Einordnung in diese drei Klassen stützt sich auf die durchsuchten Literaturstränge — Datenverarbeitungsungleichung, kaskadierte Systeme, Quantisierung, Detektorrauschen — und erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit über alle denkbaren Kanalklassen.

Der allgemeine Grund für Klasse C steht in einer Zeile: Für $Y\sim\mathcal{N}(s(\theta),\sigma^2(\theta))$ gilt

$$F = \frac{(\partial_\theta s)^2}{\sigma^2} + \frac{(\partial_\theta\sigma^2)^2}{2\sigma^4}. \tag{12}$$

Der zweite Term fehlt in $K=SNR\cdot C^2$. Sobald ein Parameter gleichzeitig auf Signal und Rauschen wirkt, trägt er zu beiden Termen bei, und die Faktoren sind nicht mehr unabhängig kalibrierbar.

Konvention für den Überschussrauschfaktor. Robbins und Hadwen (2003) definieren den Überschussrauschfaktor als Amplitudengröße mit $F_\mathrm{ENF}\to\sqrt2$ für hohe Verstärkung; andere Arbeiten, etwa Mortensen et al. (2010), nennen bereits die quadrierte Größe. In dieser Arbeit wird durchgehend die quadrierte Größe $\mathrm{ENF}^2$ als Varianzfaktor geführt: Die Varianz wächst um $\mathrm{ENF}^2$, die Fisher-Information fällt um $1/\mathrm{ENF}^2$. Für den EMCCD bei hoher Verstärkung gilt damit $\mathrm{ENF}^2\to 2$ und der Faktor $1/2$ in Klasse B.

6 Richtung und signierter Fluss

Richtung wird relativ zu einer Achse, Apertur, Quelle, einem Detektor oder einer Grenzfläche bestimmt. Für eine Welle mit Wellenvektor $k$ und Beobachtungsachse $e$:

$$c_e = \frac{k\cdot e}{\lvert k\rvert}. \tag{13}$$

Für zwei gegenläufige Komponenten entlang $e$ ist die signierte Richtungsbilanz

$$\Phi_e = \frac{\lvert A_+\rvert^2-\lvert A_-\rvert^2}{\lvert A_+\rvert^2+\lvert A_-\rvert^2}, \qquad K_\Phi = K\cdot\Phi_e. \tag{14}$$

$\Phi_e$ ist keine neue Größe, sondern der auf die Gesamtleistung normierte Nettofluss. Mit dem Reflexionsfaktor $\Gamma=A_-/A_+$ und dem Stehwellenverhältnis $s=(1+\lvert\Gamma\rvert)/(1-\lvert\Gamma\rvert)$ gilt exakt

$$\Phi_e = \frac{1-\lvert\Gamma\rvert^2}{1+\lvert\Gamma\rvert^2} = \frac{2s}{1+s^2}. \tag{15}$$

Damit ist $\Phi_e$ eine umskalierte VSWR-Angabe und in jeder HF-Messtechnik direkt messbar (numerisch geprüft in 14.5).

7 Auflösung und Wellenvektorübertrag

$$q = k_\text{out}-k_\text{in}, \qquad \lvert q\rvert a\gtrsim 1, \qquad \lvert q\rvert = 2k\sin(\Theta/2). \tag{16}$$

Nahfeldmethoden, strukturierte Beleuchtung, Nichtlinearität, Mehrfachmessungen oder Priors erweitern diese Grenze. Sie sind keine Verletzung des Modells, sondern zusätzliche Informationskanäle, die explizit in die Messkette aufzunehmen sind.

7.1 Rayleigh und Sparrow als Schwellen für $d'$

Die klassischen Auflösungskriterien von Rayleigh, Sparrow und Abbe sind für inkohärente Punktquellen formuliert und setzen eine feste Schwelle: aufgelöst oder nicht. Die Fisher-Information kennt keine solche Schwelle; sie fällt stetig. Beide Beschreibungen lassen sich zusammenführen, statt eine gegen die andere auszuspielen.

Für zwei Punktquellen im Abstand $\Delta$ gilt lokal $d'^2 \approx F(\Delta)\,\Delta^2$, und $d'$ ist die normierte Trennbarkeit aus der Detektionstheorie. Ein klassisches Kriterium ist dann die Aussage, dass $d'$ einen bestimmten Wert erreicht:

Der Gewinn dieser Umformulierung ist praktisch: Die klassischen Kriterien kennen keine Photonenzahl. Sie sagen dasselbe für ein Bild mit zehn und für eines mit zehn Millionen Photonen. Die Fisher-Fassung sagt, wie viele Photonen nötig sind, damit zwei Zustände bei gegebener Apertur unterscheidbar werden — und das ist die Frage, die bei der Auslegung tatsächlich gestellt wird.

8 Materialantwort und Informationsverlust

$R+T+A=1$ ist eine Energiebilanz, keine Informationsbilanz. Ein Spiegel erhält gerichtete Information; eine matte Oberfläche kann ähnlich viel Licht zurückwerfen und dabei Richtung und Phase diffus verteilen. $D_\text{mat}$ beschreibt, wie viel der für die Zustandsfrage nutzbaren Signalstruktur geordnet im Detektor ankommt.

9 Interferenz, Auslöschung und Stehwelle

$$\Psi = \sum_j A_j \exp[i(k_j\cdot x-\omega_j t+\phi_j)], \qquad \lvert\Psi\rvert^2 = A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Delta k\cdot x-\Delta\omega t+\Delta\phi). \tag{17}$$

Destruktive Interferenz bedeutet, dass Feldbeiträge am betrachteten Punkt vektoriell zu null addieren. Ein lokales Nullsignal ist kein globaler Abwesenheitsbeweis.

10 Lineare Überlagerung, lineare Zeitvarianz und nichtlineare Mischung

Morgenthaler (1958) löst die Maxwell-Gleichungen für Medien mit zeitabhängiger Permittivität und Permeabilität und zeigt, dass die Felder linear bleiben, wenn die Medienparameter nicht auf die Feldstärke reagieren, und dass eine monochromatische Welle dennoch eine Frequenzverschiebung erfährt. Parametrische Verstärker, Modulatoren, geschaltete Plasmen und zeitmodulierte Metamaterialien (Galiffi et al. 2022) gehören in diese Klasse. Mit $Y=\alpha X+\beta X^2+\gamma_3X^3+\dots$ entstehen dagegen Mischprodukte $f_1\pm f_2$ und Intermodulation $2f_1-f_2$.

11 Elektromagnetischer Kern

$$\nabla\cdot D=\rho,\quad \nabla\cdot B=0,\quad \nabla\times E=-\partial_t B,\quad \nabla\times H=J+\partial_t D. \tag{18}$$

Im linearen, isotropen, lokalen Grenzfall gelten $D=\varepsilon E$, $B=\mu H$, $J=\sigma E$. In anisotropen, dispersiven, nichtlinearen oder zeitabhängigen Medien sind $\varepsilon$, $\mu$, $\sigma$ als Tensoren, Frequenzfunktionen, Faltungskerne oder nichtlineare Antwortfunktionen zu modellieren. In diesem Abschnitt bezeichnet $\mu$ ausschließlich die Permeabilität; der Kohärenzfaktor heißt $\gamma$.

12 Digitalisierung

Ist $Q$ reine Nachverarbeitung desselben analogen Signals, gilt die Datenverarbeitungsungleichung

$$I(X;Y_\text{digital}) \le I(X;Y_\text{analog}). \tag{19}$$

Digitalisierung erzeugt keine physikalische Zustandsinformation, die weder im analogen Signal noch in Zusatzdaten, Priors oder weiteren Messungen enthalten ist.

13 Quantenmessung

$$p(y\lvert\theta)=\operatorname{Tr}(\rho_\theta E_y), \qquad E_y\ge 0,\quad \sum_y E_y=I. \tag{20}$$

Die zugehörige Schätzgrenze ist die Quanten-Cramér-Rao-Schranke (Helstrom 1969); die Metrik der Unterscheidbarkeit ist bei Braunstein und Caves (1994) formuliert, mit $F_Q=\max_\text{POVM} F_C$. Eine zugängliche Gesamtdarstellung für die Anwendung gibt Paris (2009).

Die Quanten-Fisher-Information ist monoton unter vollständig positiven, spurerhaltenden Abbildungen; das ist die quantenmechanische Fassung der Datenverarbeitungsungleichung aus Abschnitt 12 und zugleich die Grundlage dafür, dass auch im Quantenfall $\eta_k\le 1$ gilt. Für Schätzgrenzen unter Rauschen gibt es einen allgemeinen Rahmen (Escher, de Matos Filho & Davidovich 2011); unter Dephasierung fällt die erreichbare Skalierung asymptotisch auf $1/\sqrt N$ zurück, der Heisenberg-Vorteil geht verloren. Dekohärenz bedeutet, dass Phasenbeziehungen durch Kopplung an Detektor oder Umgebung praktisch unzugänglich werden; man betrachtet dann $\rho_S=\operatorname{Tr}_E(\rho_{SE})$. Alle Purifikationen eines reduzierten Zustands sind durch Unitäre auf dem Hilfssystem verbunden (Hughston, Jozsa & Wootters 1993): Unendlich viele Gesamtzustände liefern dieselbe lokale Statistik. Das ist der quantenmechanische Fall von Gleichung (5).

14 Numerische Minimalmodelle

Zahlen aus werkzeuge/FORSCH-PROV0420_minimalmodelle_v0.2_2026-08-26_numerik.py (Seed 20260826, Modelle M1–M6) und …_v0.3_2026-10-05_numerik.py (Seed 20261005, Modelle M7–M10). Rohergebnisse: ergebnisse.json und ergebnisse_v0.3.json.

14.1 M1 — Gauß-Kanal, Fisher-Information, Cramér-Rao

Modell $Y=A\theta+N$, $A=1{,}0$, $\sigma=0{,}5$, $\theta_0=1{,}0$, $n=200\,000$.

14.2 M2 — Nullraum und Konditionierungs-Kontinuum

$H=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, $\sigma=0{,}1$: Fisher-Eigenwerte $\{0;100;200\}$, Nullraumrichtung $(0{,}707;-0{,}707;0)$. Ersetzt man den exakten Nullraum durch einen kleinen Singulärwert $\epsilon$, wächst die Cramér-Rao-Schranke wie $1/\epsilon$ (von 0,1 bei $\epsilon=1$ auf $\approx 1{,}0\cdot10^{5}$ bei $\epsilon=10^{-6}$).

Entscheidend ist das Singulärwertspektrum im Verhältnis zum Rauschniveau — die Picard-Bedingung der Theorie inverser Probleme (Bertero & Boccacci 1998).

14.3 M3 — Zwei-Sensor-Richtungsmodell

$\tau=d\sin\theta/v$, $v=343$ m/s, $\sigma_\tau=2$ µs, $n=40\,000$ je Punkt.

Median der relativen Abweichung 0,20 %, Maximum 3,4 %.

14.4 M4 — Bruch der Produktform bei verstärkungsabhängigem Rauschen

$\sigma^2(g)=\sigma_0^2(1+\eta g^2)$, $\sigma_0=0{,}2$, $\eta=0{,}05$. Die wahre Fisher-Information sättigt bei 500, die bei $g_0=1$ kalibrierte Produktform wächst wie $g^2$.

14.5 M5 — Signierte Flussbilanz und Stehwellenverhältnis

Identität (15) geprüft über $\lvert\Gamma\rvert\in[0;0{,}999]$; maximale Abweichung $2{,}2\cdot10^{-16}$ (Maschinengenauigkeit).

14.6 M7 — Stufeneffizienz in der Kaskade

Poisson-Quelle $\theta=1000$ Photoelektronen, drei Transmissionsstufen mit nominalen $\eta=(0{,}80;\,0{,}60;\,0{,}50)$, Leserauschen $\sigma_r$ am Ende der Kette. Gemessen wird $\eta_k^\text{eff}=F_k/F_{k-1}$.

Das ist Satz 2 in Zahlen. Ohne Leserauschen ist $\eta_k^\text{eff}$ exakt die nominale Transmission der eigenen Stufe, die Produktform gilt. Mit Leserauschen hängt $\eta_3$ davon ab, wie viel Signal die Stufen 1 und 2 übrig gelassen haben — die Stufeneffizienz ist dann keine Stufeneigenschaft mehr, und die Faktoren sind nicht getrennt kalibrierbar.

14.7 M8 — Separierbarkeitskarte

Gemischte zweite Ableitung $\partial^2\log F/\partial\ln\lambda\,\partial\ln\sigma_r$ über Signalniveau und Leserauschen, Gitter 120 × 120 über $\lambda\in[1;10^5]$ $\mathrm{e}^-$ und $\sigma_r\in[0{,}1;300]$ $\mathrm{e}^-$.

Bei einer Schwelle von 0,05 sind 58 % der betrachteten Parameterfläche separabel. Die Struktur ist aufschlussreich: Separabilität gilt in den beiden asymptotischen Regimen — klar schrotlimitiert oder klar leselimitiert — und bricht im Übergangsband $\lambda\approx\sigma_r^2$. Die Produktform ist also kein Entweder-oder, sondern eine Eigenschaft des Arbeitspunkts. Für die Praxis heißt das: Die Faktorisierung ist dort zulässig, wo ein Rauschbeitrag deutlich dominiert.

14.8 M9 — Qubit unter Dephasierung

Zustand $\rho=\tfrac12(I+r(\cos\varphi\,\sigma_x+\sin\varphi\,\sigma_y))$ mit $r=e^{-\Gamma t}$, $\Gamma=1$.

Zwei Lehren für den Rahmen. Erstens ist Nichtunterscheidbarkeit im Quantenfall messungsrelativ: Bei $\varphi-\alpha=0$ ist $F_C=0$, obwohl $F_Q>0$ — die Information ist im Zustand vorhanden und im gewählten Kanal nicht zugänglich. Zweitens zeigt $\log F_Q(\omega)=2\log t-2\Gamma t$ mit $\partial^2/\partial t\,\partial\Gamma=-2\neq 0$, dass das Separierbarkeitskriterium in den Parametern $(t,\Gamma)$ verletzt, in $(t, D=e^{-\Gamma t})$ dagegen erfüllt ist. Die Zulässigkeit der Produktform hängt an der Wahl der Parametrisierung.

14.9 M10 — Spaltversuch, vollständig durchgerechnet

Einzelspalt, $a_0=150$ µm, $\lambda=650$ nm, $L=1{,}00$ m, Pixel 1,55 µm, 4096 Pixel, Leserauschen 3 $\mathrm{e}^-$, Konversion 1 $\mathrm{e}^-$/ADU, Spitzensignal 4000 $\mathrm{e}^-$, Pixelintegration mit 16 Stützstellen.

Die Spaltbreite ist bei diesem Aufbau auf etwa 36 nm genau schätzbar, also auf $2{,}4\cdot10^{-4}$ ihres Werts. Das ist der entscheidende Punkt für das Versuchsprogramm: Die Messgenauigkeit ist nicht durch die Pixelgröße begrenzt, sondern durch Photonenstatistik und Modelltreue.

Zur empirischen Prüfung des Separierbarkeitskriteriums dient die Abhängigkeit von Belichtung und Leserauschen:

Bei hoher Belichtung ist $F$ praktisch proportional zur Belichtung und vom Leserauschen unabhängig — die Produktform gilt. Bei niedriger Belichtung koppeln beide Parameter: Der Abfall von $\sigma_r=1$ auf 30 beträgt dort Faktor 8,4, bei zehnfacher Belichtung nur noch Faktor 1,09. Genau diese gemischte Abhängigkeit ist im Labor messbar und ist der Prüfplan aus Abschnitt 19.

15 Falsifizierbarkeit

16 Wiener Linie und Wissenschaftsphilosophie der Messbarkeit

Der Rahmen steht in einer Traditionslinie, die in Wien beginnt und über den Operationalismus zur modernen modellbasierten Messtheorie führt. Diese Einordnung ist keine Verzierung: Sie entscheidet darüber, welchen Anspruch das Kriterium erheben darf.

Position des Rahmens. Er ist eine modellbasierte, informationsmetrische Messtheorie. Von Mach übernimmt er die Ökonomie, von Boltzmann den Modellpluralismus, von Carnap die Graduierung. Den Operationalismus vermeidet er, weil er Bedeutung nicht über Operationen definiert, sondern nur ausschließt, was kein Kanal unterscheiden kann. Der klassische Einwand gegen Mach — Atome waren nicht direkt beobachtbar und existieren trotzdem — trifft ihn nicht: Atome waren über geeignete Kanäle, etwa die Brownsche Bewegung, identifizierbar. Nichtidentifizierbarkeit ist kanalrelativ, nicht absolut. Dieser Satz ist die philosophische Pointe des Rahmens und zugleich seine Schutzklausel gegen jede positivistische Überdehnung.

17 Abgrenzung zur Beobachtbarkeitstheorie und zu benachbarten Rahmen

Saubere Abgrenzung. Kalman- und Hermann-Krener-Beobachtbarkeit beantworten, ob Zustände aus rauschfreien Ausgangsverläufen eines dynamischen Systems unterscheidbar sind. Der vorliegende Rahmen fragt, wie viel Information über $\theta$ jede physikalische Stufe einer statischen oder quasistatischen Messkette unter Rauschen durchlässt, und ob diese Durchlässigkeit stufenweise faktorisierbar ist. Im linear-gaußschen Fall fallen Rangbedingung und Regularität der Fisher-Matrix zusammen; diese Äquivalenz wird hier ausdrücklich als bekannt zitiert und nicht als Ergebnis ausgegeben.

Neu gegenüber allen genannten Rahmen sind drei Punkte: die Zuordnung der Stufen zu physikalischen Teiltheorien, das Kriterium für die Zulässigkeit der Produktform, und die Behandlung der Quantenstufe mit dem Unterschied zwischen POVM-gebundener und erreichbarer Information.

18 Realbeispiele

19 Versuchsprotokoll: optischer Spaltversuch

Das Protokoll ist so angelegt, dass es in einer Werkstatt mit 3D-Druck, Laserdiode und Kamerasensor ohne Laborausstattung durchführbar ist. Es prüft zwei Dinge: den Strukturübertragungsfaktor $G(\lvert q\rvert a)$ und das Separierbarkeitskriterium.

19.1 Aufbau

19.2 Kalibrierung vor der Messung

1. Photon-Transfer-Kurve nach EMVA 1288: Konversionsverstärkung $g$, Leserauschen $\sigma_r$, Linearität und Full Well bestimmen. Ergebnis ist das Rauschmodell $\sigma^2(\mu)=\mu/g+\sigma_r^2$, das jede folgende Fisher-Rechnung trägt.
2. Linearitätsnachweis: ausschließlich RAW verwenden; Gammakorrektur und JPEG-Verarbeitung machen aus dem Modell eine nichtlineare Kennlinie und verletzen das Kriterium aus Klasse C.
3. Pixelmaßstab: über Datenblatt und zusätzlich über ein Gitter bekannter Konstante prüfen.
4. Dunkelbilder bei derselben Temperatur und Belichtungszeit.
5. MTF des Systems nach ISO 12233:2024 — ausdrücklich mit LED-Beleuchtung, nicht mit dem Laser: Die Norm setzt inkohärente Abbildung voraus, unter kohärenter Beleuchtung gelten andere Grenzfrequenzen und Kanten zeigen Überschwinger.

19.3 Messreihen

19.4 Auswertung

1. Vorwärtsmodell $\mu_k(a)$ als Pixelintegral von $\operatorname{sinc}^2$ aufstellen, nicht die Punktformel verwenden.
2. $a$ je Einzelbild per Maximum-Likelihood schätzen; empirische Varianz gegen $1/F(a)$ halten (Cramér-Rao-Effizienz). Die Simulation in 14.9 erwartet $\sigma_a\approx 36$ nm bei $a=150$ µm.
3. Aus R2 × R3 die Fläche $\log F(\ln\lambda, \ln\sigma_r)$ aufnehmen und die gemischten zweiten Differenzen bilden. Erwartung nach 14.7: nahe null im schrot- und im leselimitierten Regime, deutlich von null verschieden im Übergang.
4. Aus R1 den Strukturübertragungsfaktor als Verhältnis von gemessenem zu idealem Kontrast über $\lvert q\rvert a$ auftragen.

19.5 Erwartete Ergebnisse und Falsifikation

Bestätigt wäre der Rahmen, wenn die gemischte Ableitung im Übergangsbereich signifikant von null abweicht und in den Asymptoten nicht. Widerlegt wäre Satz 2, wenn die Stufeneffizienzen über alle Arbeitspunkte konstant blieben, obwohl die Photon-Transfer-Kurve mehrstufige Rauscheinkopplung ausweist.

19.6 Laserschutz

Wer die Optik eines klassifizierten Lasermoduls verändert oder entfernt, muss neu klassifizieren und gilt im Sinne der Norm als Hersteller. Die genauen Grenzwerte sind der Normtabelle zu entnehmen, nicht Sekundärquellen.

20 Diskussion

Der Nutzen des Rahmens liegt in der systematischen Trennung von Signal, Energie, Information, Richtung, Materialantwort und Entscheidung. Ein helles Bild ist nicht automatisch informationsreich. Ein Nullsignal ist nicht automatisch Abwesenheit. Eine digitale Rekonstruktion ist nicht automatisch physikalisch eindeutig.

Gegenüber Version 0.2 verschiebt sich der Beitrag ein zweites Mal. Dort war $K$ hergeleitet, aber die Gültigkeit der Produktform offen. Hier ist sie für die wichtigsten Kanalklassen entschieden, und das Ergebnis ist unbequemer, als es die Produktform nahelegt: Faktorisierbarkeit ist keine Eigenschaft des Systems, sondern des Arbeitspunkts. Dieselbe Kamera ist bei heller Beleuchtung separabel und im Dämmerlicht nicht. Das ist keine Schwäche der Darstellung, sondern eine Aussage über Messketten, und sie ist messbar.

Der mathematische Kern bleibt die Messverteilung $p(Y\lvert\theta)$. $K$ ist ein Diagnosewerkzeug für den Ingenieursgebrauch, nicht der theoretische Kern.

21 Grenzen

Erstens ist dies keine neue Fundamentaltheorie. Zweitens ist der Kernsatz nicht neu, sondern übernommen. Drittens ist $K$ außerhalb des Gauß-Ankerfalls eine Näherung. Viertens ist die Klassifikation in Abschnitt 5.6 nicht erschöpfend; sie deckt die untersuchten Kanalklassen ab. Fünftens garantiert prinzipielle Unterscheidbarkeit keine praktische Rekonstruierbarkeit. Sechstens meint Information hier physikalische Zustandsunterscheidbarkeit, nicht Bedeutung. Siebtens sind alle zehn Minimalmodelle Simulationen mit bekannten Vorwärtsmodellen; der Versuch aus Abschnitt 19 ist geplant, aber nicht durchgeführt. Achtens ist die Literaturrecherche begrenzt: „in der Literatur nicht gefunden” heißt nicht „existiert nicht”. Neuntens sind nicht alle Literaturangaben am Werk geprüft; Anhang I weist offene Angaben einzeln aus.

22 Schlussfolgerung

Messbarkeit ist unterscheidbare Zustandsabhängigkeit innerhalb einer realen physikalischen Messkette. Der Ausgangspunkt — $p(Y\lvert\theta_1)=p(Y\lvert\theta_2)$ schließt eindeutige Rekonstruktion aus — ist die Beobachtungsäquivalenz der Identifizierbarkeitstheorie und wird hier übernommen, nicht beansprucht. Der eigene Beitrag ist die Stufenzerlegung einer physikalischen Messkette und das Kriterium, das angibt, wann sie multiplikativ zusammengefasst werden darf.

Die kürzeste Fassung: Messbarkeit ist unterscheidbare Zustandsabhängigkeit — und die Produktform gilt genau so weit, wie ihre Faktoren einander nicht heimlich enthalten. Ob sie das tun, entscheidet der Arbeitspunkt, nicht das Gerät.

Anhang A — Symboltabelle

Anhang B — Geltungsbereiche zentraler Formeln

Anhang C — Reproduktion

cd werkzeuge
python3 FORSCH-PROV0420_minimalmodelle_v0.2_2026-08-26_numerik.py   # M1-M6, Seed 20260826
python3 FORSCH-PROV0420_minimalmodelle_v0.3_2026-10-05_numerik.py   # M7-M10, Seed 20261005

Abhängigkeiten: Python 3, numpy, matplotlib. Die Skripte schreiben ergebnisse.json und ergebnisse_v0.3.json sowie alle Abbildungen nach werk/abb/. Jede Zahl in Abschnitt 14 stammt aus diesen Dateien.

Anhang D — Literatur

Alle Einträge mit Kennung (DOI, ISBN, Fundstellen-Bibcode) wurden für diese Fassung über den Verlag, das Register der registrierenden Agentur oder den Volltextnachweis bestätigt. Einträge ohne Kennung sind Standardlehrbücher, deren Auflage noch festzulegen ist; sie sind in Anhang I als offen geführt.

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Anhang E — Errata und Fassungsgeschichte

Anhang F — Was in der Literatur nicht gefunden wurde

Die folgende Liste gehört zur Redlichkeit des Beitrags. Sie nennt, was nach Durchsicht der Stränge Datenverarbeitungsungleichung, kaskadierte Systeme und Detektivquantenausbeute, Quantisierung, Detektorrauschen, Parameter-Orthogonalität, Informationsgeometrie, Beobachtbarkeitstheorie und strukturelle Identifizierbarkeit nicht auffindbar war. Der Umfang der Recherche lag bei rund zwei Dutzend gezielten Suchen; sie war nicht erschöpfend und ersetzt keine systematische Übersichtsarbeit. „Nicht gefunden” heißt nicht „existiert nicht”. Jede Aussage dieses Anhangs ist im Text entsprechend relativiert.

Anhang G — Strangzuordnung und Verwertung

Dieses Werk wird plattformzentriert geführt. Die Plattform syntagma-science ist die Stelle, an der alles zusammenläuft; der freie Forschungskanal ist der Zubringer, nicht der Zielort.

G.1 Die beiden Stränge

Werkzeuge laufen ausschließlich über die Plattform. Auf Zenodo liegt kein Werkzeug, auch keine Vorschau- oder Demonstrationsfassung — dort liegt das Preprint mit Abbildungen, Skripten und Rohergebnissen. Wer rechnen will statt lesen, kommt auf die Plattform.

G.2 Lizenzstufen

Nach dem Lizenz- und Plattformzuschnitt LIZ-PROV0001.

G.3 Produktklassen

G.4 Was das für die Veröffentlichung heißt

Das freie Preprint ist Veröffentlichungs- und Reichweitenkanal, nicht Selbstzweck: Es belegt die Methode offen, damit die Plattform eine überprüfbare Grundlage hat. Jede Ablage des Preprints trägt den Verweis auf syntagma-science. Beide Stränge werden gepflegt; keiner ersetzt den anderen. Die Kennungen FORSCH-PROV0420 und SYN-PROV0002 sind provisorisch und vor der Veröffentlichung gegen das Register zu prüfen.

G.5 Aktivfassung und Passivfassung

Die Zuordnung folgt der strangübergreifenden Regel REGEL-PROV0001 (Fassung 1.0 vom 06.10.2026, Wortlaut in regelwerk/). Sie gilt für alle Vorhaben, nicht nur für dieses.

Auf die Ablage kommt nur die Passivfassung. Die Aktivfassung läuft ausschließlich über die Plattform.

Der Test, in dieser Reihenfolge: Hat es eine Bedienoberfläche, die auf Eingaben hin rechnet? Ja, dann aktiv. Nein, dann: Wird es gelesen, angesehen oder einmal nachgefahren? Ja, dann passiv.

Die Rechenskripte aus Anhang C sind Passivfassung und liegen auf der Ablage. Ein Skript mit festem Seed, das die Zahlen aus Abschnitt 14 neu erzeugt, ist Reproduktionsmaterial und keine Anwendung. Ohne dieses Material wäre der Beitrag nicht nachprüfbar, und Nachprüfbarkeit ist der Grund, überhaupt abzulegen. Wer die Zahlen dieses Werks kontrollieren will, braucht MESSWERK nicht; die Skripte genügen. MESSWERK nimmt das Aufsetzen ab und rechnet mit fremden Messketten statt mit den Beispielen dieses Beitrags — das ist der Unterschied, der die Lizenzpflicht trägt.

Nie auf die Ablage kommen Vorschau-, Demonstrations- und abgespeckte Fassungen des Werkzeugs, der Quelltext des Werkzeugs samt Oberfläche, Angebots- und Preisunterlagen sowie interne Dateien. Entweder das vollständige Werkzeug auf der Plattform oder gar keines.

G.6 Eigenschutz und Offenlegungsgrenze

Die Grenze zwischen dem, was offenliegt, und dem, was beim Autor bleibt, folgt der strangübergreifenden Regel REGEL-PROV0002 (Fassung 1.0 vom 06.10.2026, Wortlaut in regelwerk/). Sie wird hier genannt, weil dieses Werk neben einem kostenpflichtigen Angebot steht und die Frage sonst unausgesprochen bliebe.

Die Grenze läuft am Gegenstand, nicht am Format: Die Methode, die dieses Werk behauptet und belegt, ist öffentlich. Ohne Beleg wäre es keine Forschung, sondern Werbung. Das Produkt, das daneben verkauft wird, ist geschützt.

Überprüfbarkeit geht vor Schutz. Wo eine Angabe nötig ist, damit die Behauptung widerlegbar bleibt, wird sie veröffentlicht, auch wenn sie einem Dritten nützt. Ein Rahmen, der sich nicht widerlegen lässt, trägt kein Angebot.

Browser-Werkzeug, bewusst offen. MESSWERK läuft als einzelne HTML-Datei im Browser und liefert damit seinen Rechenkern an jeden aus, der die Seite öffnet. „Im Browser” und „Kern-Quellcode intern” schließen einander aus; REGEL-PROV0002 verlangt deshalb eine bewusste Wahl je Werkzeug. Für MESSWERK ist sie getroffen und in syntagma-science/ANGEBOT.md festgehalten: die universelle Edition bleibt offen auf der Plattformseite. Die Lizenz trägt dann nicht den Rechenkern, sondern Pflege und Fassungsverfolgung, die eigene Kennzeichnung und den Mehrplatzbetrieb, Schulung, das Messketten-Audit und die Auslegung gegen eine geforderte Genauigkeit. Das ist keine Notlösung, sondern die Entscheidung, den Zulauf höher zu gewichten als den Schutz einiger hundert Zeilen Rechencode, die ohnehin aus diesem Werk herleitbar sind.

Anhang H — Veröffentlichungsweg

H.1 Reihenfolge

Plattform zuerst, Ablage danach, Zeitschriften zuletzt.

H.2 Das Zenodo-Bündel ist eigens aufbereitet

Das Arbeitsbündel und das Veröffentlichungsbündel sind nicht dasselbe. Der Ordner zenodo-upload/ enthält genau das, was auf die Ablage gehört, und nichts weiter: Preprint in vier Formaten je Sprache, Abbildungen, Rechenskripte, Rohergebnisse, Lizenz, Metadatensatz, Lies-mich. Nicht enthalten sind Werkzeugfassungen, Angebots- und Preisunterlagen, interne Übergaben und Prüflisten. Die Metadaten des Bündels nennen die Plattform als zugehörige Fundstelle.

H.3 Zeitschriften und Ablagen

H.4 Empfohlener Zuschnitt

Ein Vollwerk über Mathematik, Experiment und Wissenschaftsphilosophie findet keine einzelne Zeitschrift. Sinnvoller ist die Aufteilung in drei Einreichungen, mit der bilingualen Monografie als gemeinsamer, frei zugänglicher Ablage:

Anhang I — Quellen-Prüfliste

Spalte „Status”: geprüft heißt, die Angabe wurde für diese Fassung am Verlagsnachweis, am Normenregister, am Volltext oder am Eintrag der registrierenden Agentur bestätigt. offen heißt, die Angabe ist weiterhin nicht einzeln nachgewiesen und vor einer Journalfassung zu bestätigen. Die Prüfung erfolgte am 06.10.2026.

I.1 Geprüft

I.2 Weiterhin offen

I.3 Was die Prüfung am Werk geändert hat