Handbuch zum Rechner für Tunneleffekt und Stromleitung

1 Zweck

Der Rechner dient dazu, die Zahlen des Fachpapiers nachzuprüfen und eigene Fälle durchzurechnen. Er beantwortet vier Fragen: Wie stark lässt eine Barriere ein Teilchen durch? Was bewegt sich in einem stromführenden Leiter, und wie schnell? Was ändert der Stoff in der Barriere? Wo trennt sich eine Weitergabe im leeren Spalt (Fassung D) von der Schrödinger-Gleichung?

2 Start

Den Ordner werkzeug vollständig auf den Rechner kopieren und die Datei rechner.html im Browser öffnen. Es ist kein Server und keine Internetverbindung erforderlich. Es werden keine Daten übertragen oder gespeichert.

3 Teil 1: Durchlasswahrscheinlichkeit

Eingaben. Teilchen (oder eigene Masse in kg), Energie E in eV, Barrierenhöhe V₀ in eV, Dicke d in nm. Zahlen können mit Komma oder Punkt und in der Form 1e8 eingegeben werden.

Ausgaben.

Exakt (Rechteckbarriere): T = 1 / (1 + V₀² · sinh²(κd) / (4E(V₀−E))).
Näherung: T ≈ e^(−2κd). Diese Form verwendet das Fachpapier, weil sie nur vom Energieabstand V₀−E abhängt. Beide Werte unterscheiden sich um einen Vorfaktor, der bei dicken Barrieren gegenüber dem Exponenten keine Rolle spielt.
Abklingkonstante κ = √(2m(V₀−E))/ħ und Abklinglänge 1/(2κ): die Strecke, auf der die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf den e-ten Teil fällt.
Versuche je Durchgang: Kehrwert von T. Darunter steht zum Vergleich die Zahl der Versuche bei 10 je Sekunde über das Alter des Universums.

Sehr kleine Werte werden als 10^(−x) ausgegeben, weil sie als Dezimalzahl nicht darstellbar sind.

Grenzen. Die Rechnung gilt für ein einzelnes Teilchen und eine rechteckige Barriere. Reale Barrieren haben eine andere Form; die Größenordnung bleibt erhalten. Für zusammengesetzte Körper ist das Ergebnis eine formale Hochrechnung.

4 Teil 2: Leiter

Eingaben. Werkstoff, Strom in A, Querschnitt in mm², Frequenz in Hz.

Ausgaben.

Driftgeschwindigkeit v = I / (n · e · A) mit der Dichte n der Leitungselektronen.
Zeit für einen Meter bei Gleichstrom.
Pendelweg bei Wechselstrom: Amplitude √2 · v / (2πf) für den Effektivwert des Stroms.
Eindringtiefe δ = √(2ρ / (2πf · μ₀)).
Abstand zum Richtwert der Elektromigration: Verhältnis zur Stromdichte 10⁶ A/cm². Der Richtwert ist eine Größenordnung für Leiterbahnen, kein Grenzwert für Installationen.
Vergleich Elektrolyt: Metallmasse nach dem Faraday-Gesetz, die dieselbe Ladung in einer Stunde transportieren würde.

5 Teil 3: Stoff in der Barriere

Eingaben. Dicke d in nm und Barrierenhöhe im Vakuum in eV (Energieabstand V₀−E).

Ausgaben. Für den leeren Spalt und für mehrere Stoffe die Abklingkonstante β je Ångström (0,1 nm) und die Durchlässigkeit T ≈ e^(−βd) für Elektronen. Für das Vakuum wird β = 2κ aus der Barrierenhöhe berechnet. Für die Stoffe sind es Literaturwerte; wo ein Bereich angegeben ist, erscheint auch T als Bereich.

Grenzen. Die Literaturwerte gelten für Elektronenübertragung durch Moleküle und Lösungen und streuen je nach Aufbau. Der Vergleich zeigt die Größenordnung, nicht den Wert einer bestimmten Anordnung.

6 Teil 4: Fassung D

Eingaben. Teilchen, Barrierenhöhe im Vakuum in eV (Energieabstand V₀−E), Dicke d in nm und die Anpassungsbarriere für Fassung D in eV (Voreinstellung 4,5 eV).

Ausgaben. Abklingkonstante β und Durchlässigkeit T einmal nach der Schrödinger-Gleichung, einmal nach Fassung D, dazu das Verhältnis der beiden. Fassung D verwendet für jedes Teilchen und jede Barrierenhöhe denselben Wert β, nämlich jenen des Elektrons bei der Anpassungsbarriere.

Lesart. Bei Elektron und Anpassungsbarriere stimmen beide Werte überein. Ein anderes Teilchen oder eine andere Barrierenhöhe zeigt, wie weit sich die Vorhersagen trennen. Bei Deuteronen widerspricht Fassung D der Messung (Fachpapier, Abschnitt 8.6, Punkt D2).

Grenzen. Fassung D ist ein Prüfmodell, keine anerkannte Theorie. Der Rechner zeigt ihre Vorhersage, um sie an Messungen messen zu können.

7 Daten ändern

Alle Sachdaten stehen in daten/tunnel_daten.json: Konstanten, Teilchen, Werkstoffe, Richtwerte und Voreinstellungen. Die Datei daten/tunnel_daten.js wird daraus erzeugt und nicht von Hand geändert. Nach einer Änderung der JSON-Datei python3 05_BUILD/build.py ausführen. Die Dateien rechner.html, rechner.css und rechner.js enthalten keine Sachdaten.

8 Zwei Fassungen

Die Fassung in 01_EXTERN ist neutral und zur Weitergabe bestimmt. Die Fassung in 02_INTERN enthält zusätzliche Voreinstellungen zu den Fragen des Fachpapiers. Darstellung und Rechenlogik sind in beiden Fassungen gleich; sie unterscheiden sich nur in der Datendatei.

9 Paket neu erzeugen

Voraussetzungen: Python 3, pandoc, Playwright mit Chromium.

Bei neuer Fassung: python3 05_BUILD/fassung.py <Paket> <Fachpapier> <JJJJ-MM-TT> setzt die Fassungsnummern in allen Dateien.
python3 05_BUILD/build.py errechnet die Kennzahlen, erzeugt Abbildungen, Papiere, Flyer und die Datenlader.
python3 05_BUILD/pruefen_packen.py prüft das Paket, schreibt Versionsblatt und Manifest und erzeugt die Archive.

10 Quellen

Formeln nach Griffiths, Schroeter (2018), Introduction to Quantum Mechanics, Kap. 2, sowie Ashcroft, Mermin (1976), Solid State Physics, Kap. 1. Naturkonstanten nach CODATA 2018. Richtwert der Elektromigration nach Black (1969), IEEE Transactions on Electron Devices 16, 338. Abklingkonstanten nach Winkler, Gray (2014), Chemical Reviews 114, 3369, und Chen u. a. (2021), Nature Communications 12, 3432. Vollständige Literatur im Fachpapier.