Werkstatt-Werkzeug · Mechanik · Modul 03

Harmonischer Oszillator

Drei Achsen, entlang derer der ideale Oszillator widerlegt wird: Dämpfung, Antrieb, Anharmonizität.

Trajektorie x(t) M1 ungedämpft vs. M2 gedämpft

Energie E(t) (log-Skala) Falsifikationskriterium

ω₀

— rad/s

ω_d

— rad/s

Δ Periode

— %

E(T)/E(0)

—

m kg

k N/m

b Ns/m

x₀ m

M1 — ungedämpft

m x'' + k x = 0, ω₀ = √(k/m), E = const

M2 — gedämpft

m x'' + b x' + k x = 0, ω_d = √(ω₀² − γ²), γ = b/(2m)
E(t) ∝ exp(−2γt) — Falsifikation über Energie-Abfall > 5% nach T

Resonanzkurve A(ω) M1 ungedämpft singulär bei ω₀

ω₀

— rad/s

Resonanz-Peak

— rad/s

FWHM / ω₀

— %

Güte Q

—

m kg

k N/m

b Ns/m

F₀ N

Stationäre Lösung

A(ω) = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + (2γω)²)
Güte Q = ω₀ / (2γ), Halbwertsbreite ≈ ω₀/Q
M1 ungedämpft (γ=0): A → ∞ bei ω = ω₀ — unphysikalisch

Trajektorie (kleine vs. große Amplitude) normiert auf A

Periode T(A) amplituden-abhängig

T (kleine Amp.)

— s

T (große Amp.)

— s

Δ T / T

— %

Cent-Verschiebung

—

m kg

k N/m

α N/m³

A_klein m

A_groß m

Duffing-Gleichung

m x'' + k x + α x³ = 0
ω(A)² ≈ ω₀² (1 + (3α)/(4k) · A²)
α > 0: harte Feder (ω steigt mit A)
α < 0: weiche Feder (ω fällt mit A)

Forschungsnotiz: FN-Mechanik-Harmonischer-Oszillator-v0.1-2026-05-17.md
Praxis-Erklärung: PRAXIS-Harmonischer-Oszillator.md
Verwandt: Audio 02 Saitenschwingung, Audio 04 Resonanz, Mechanik 04 Pendel (folgt)
Quellen: Goldstein/Poole/Safko (2002), Landau/Lifschitz Bd. 1, Strogatz (2014)