Kettenrechner: K und I_eff
Jede Stufe trägt einen Faktor in [0,1] bei. K ist das effektive Signal-Rausch-Verhältnis; I_eff = log₂(1+K) ist die Kapazität des äquivalenten Gauß-Kanals.
| Produkt der Stufenfaktoren | — |
|---|---|
| K = SNR · ∏g · C² | — |
| I_eff = log₂(1+K) | — |
| Relative Standardabweichung (Cramér-Rao, θ) | — |
Fisher-Information mit signalabhängigem Rauschen
Y ~ N(s(θ), σ²(θ)). F = (∂s)²/σ² + (∂σ²)²/(2σ⁴). Der zweite Term ist der Grund, warum die Produktform bricht, sobald ein Parameter auf Signal und Rauschen wirkt.
| σ² | — |
|---|---|
| Signalterm (∂s)²/σ² | — |
| Varianzterm (∂σ²)²/(2σ⁴) | — |
| F gesamt | — |
| K = θ²F | — |
| Cramér-Rao σ_θ | — |
Separierbarkeitsprüfer
Geprüft wird ∂²log F / ∂ln λ ∂ln σ_r am gewählten Arbeitspunkt. Nahe null heißt: die Produktform ist dort zulässig. Modell: σ² = ENF²·λ + σ_r².
| Schrotanteil der Varianz | — |
|---|---|
| Leseanteil der Varianz | — |
| |∂²log F / ∂lnλ ∂lnσ_r| | — |
| Regime | — |
Für die Laborprüfung: Belichtung und Leserauschen je über mindestens drei Stufen variieren und die gemischten zweiten Differenzen von log F bilden. Erwartung: nahe null in beiden Asymptoten, deutlich von null verschieden im Übergang.
Spalt, Wellenvektorübertrag und erreichbare Genauigkeit
| Fraunhofer-Kennzahl a²/(λL) | — |
|---|---|
| Ort von |q|a = 1 | — |
| Erstes Minimum | — |
| Sensorbreite | — |
| Fisher-Information F(a) | — |
| Cramér-Rao σ_a | — |
| relative Genauigkeit σ_a/a | — |
Quantenstufe: Qubit unter Dephasierung
F_Q(φ) = e^(−2Γt) für die Phase, F_Q(ω) = t²e^(−2Γt) für die Frequenz. Eine projektive Messung senkrecht zum Bloch-Vektor erreicht F_Q; parallel dazu bleibt F_C = 0.
| Kohärenz r = e^(−Γt) | — |
|---|---|
| F_Q (Phase) | — |
| F_C der gewählten Messachse | — |
| Ausschöpfung F_C/F_Q | — |
| optimale Einzelzeit t* = 1/(2Γ) | — |
| F gesamt bei T (Frequenzschätzung) | — |
Grundlagen und Geltungsbereich
| Kernsatz | Gilt p(Y|θ₁) = p(Y|θ₂) für θ₁ ≠ θ₂, ist eindeutige Rekonstruktion aus diesem Messkanal ausgeschlossen. Das ist die Beobachtungsäquivalenz der Identifizierbarkeitstheorie (Rothenberg 1971), kein eigener Satz dieses Werkzeugs. |
|---|---|
| Separierbarkeit | Die Produktform K = ∏κᵢ ist auf zusammenhängendem Produktgebiet genau dann exakt, wenn ∂²log F/∂pᵢ∂pⱼ = 0 für alle i ≠ j. |
| Stufenfassung | F_n = F₀·∏η_k mit η_k = F_k/F_{k−1} ist trivial. Die Behauptung ist, dass η_k nur von den Parametern der eigenen Stufe abhängt. |
| Klasse A (exakt) | multiplikative Transmission mit einstufigem Rauschen; Poisson-Verdünnung |
| Klasse B (asymptotisch) | EMCCD bei hoher Verstärkung (Faktor 1/2); Ein-Bit-Quantisierung bei kleinem SNR (Faktor 2/π) |
| Klasse C (verletzt) | mehrstufige Rauscheinkopplung, Schrot-Lese-Übergang, Aperturkopplung, Nichtlinearität, Sättigung |
| Grenzen | Alle Rechnungen setzen ein bekanntes Vorwärtsmodell voraus. Außerhalb des Gauß-Ankerfalls ist K eine Näherung. Das Werkzeug ersetzt keine Kalibrierung; das Rauschmodell stammt aus der Photon-Transfer-Kurve des eigenen Sensors. |
| Fundstelle | Begleitendes Preprint, Version 0.4 — Abschnitte 5, 14 und 19 |